Математика (курс 13) (4194) , модуль 6 - Темы творческих работ (эссе) СГА

• N - мерное линейное векторное пространство
• Алгоритм метода вращении
• Алгоритм метода отображений
• Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных; пример
• Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матриц
• Алгоритм построения разложения Холецкого
• Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду
• анализ системы линейных уравнений, определение их совместности
• Арифметические линейные пространства
• Векторные пространства
• взаимно однозначные отображения. Обратный оператор: условия существования
• возведение матрицы в натуральную степень, многочлен от матрицы
• Выборка. Построение по выборке графиков. Эмпирическая функция распределения, кумулята. Мода, медиана
• Выборочное среднее и выборочная дисперсия
• Вычисление собственных значений и собственных векторов
• Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных
• динамическое программирование
• Дифференциал функции нескольких переменных; дифференцируемость сложной функции
• Дифференциалы в приближенных вычислениях
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференцируемость функций нескольких переменных
• Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве
• Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных
• Достаточные условия условного экстремума функции нескольких переменных
• Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана
• Закон инерции
• закон инерции квадратичных форм
• Изменение системы координат
• Изоморфизм комлексных евклидовых пространств; антиизоморфизм пространств; Гильбертово пространство
• Изоморфизм линейных пространств; соответствие между действительными и комплексными пространствами
• Инвариантность собственных подпространств
• Использование закона инерции
• Исследование функций нескольких переменных на экстремум; пример
• Канонический вид квадратичной формы
• Канонический вид самосопряжённого оператора
• Канонический и нормальный вид квадратичной формы
• каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве, геометрический смысл коэффициентов
• Квадратичные и билейные формы
• Квадратичные формы в евклидовом пространстве
• Классификация кривых второго порядка; примеры
• Классификация поверхностей второго порядка в пространстве
• Конечномерные и бесконечномерные пространства; базис
• кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
• Критерий Сильвестра
• критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы
• Критерий совместимости Кронекера-Капелли
• Линейная зависимость и линейная независи-мость системы векторов
• линейная зависимость и линейная независимость системы векторов
• линейные и билинейные формы
• Линейные и квадратичные формы; матрица квадратичной формы и ее преобразование при линейной замене переменных
• линейные и самосопряженные операторы
• Линейные операции в координатной форме; примеры
• Линейные операции над векторами
• Линейные отображения
• линейные подпространства
• Линейные пространства линейных операторов
• Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису
• Матрица отражения и ее свойства
• Матрица элементарного вращения и ее свойства 
• Матричные нормы
• метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
• Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
• Метод Крамера
• Метод Лагранжа приведения симметричной квадратичной формы к диагональному виду
• многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка
• нелинейное программирование
• Необходимое условие для экстремума функции двух переменных
• Необходимое условие условного экстремума функции нескольких переменных
• Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных
• Непрерывность функции нескольких переменных; линии (поверхности) разрыва функции
• Неравенство Коши – Буняковского
• нормальное распределение, его особая роль. График плотности нормально распределённой случайной величины
• Нормальное распределение. Правило двух и трёх сигм
• Нормы векторов и матриц
• Обратимость матрицы, близкой к обратимой матрице
• Обратная матрица
• общее уравнение плоскости в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве
• общие и частные решения систем уравнений. Неоднородные системы
• Общий вид уравнения второго порядка на плоскости (и в пространстве)
• Оосновные правила дифференцирования. Определение производной
• Определение билинейной формы; общие свойства билинейных форм
• Определение выпуклости функции на промежутке. Достаточные условия
• Определение двойного интеграла. Как этот интеграл сводится к повторному интегралу
• Определение евклидова пространства; простейшие следствия из аксиом скалярного произведения
• определение обратной матрицы. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
• определение определителя (детерминанта) матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
• Определенный интеграл функции на отрезке и его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница
• определители второго и третьего порядков, их свойства, определители n-го порядка
• Определители квадратных матриц
• ортогональность, коллинеарность, компланарность
• Ортогональные матрицы и ортогональные операторы
• Ортогональные преобразования квадратичных форм
• Ортогональный базис
• ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по ортогональному базису
• Основные аксиомы, примеры линейных пространств; базис; размерность
• Основные правила вычисления пределов
• Основные свойства линейного пространства; примеры
• Основные свойства систем векторов линейного произвольного пространства
• Оценка количества арифметических операций в алгоритме построения разложения Холецкого
• Оценка количества арифметических операций в методе вращений
• Оценка количества арифметических операций в методе отражений
• параболоиды. Параболоид гиперболический (седло). Каноническое уравнение метод сечений. Параболоид эллиптический. Каноническое уравнение метод сечений
• Плотность распределения непрерывной случайной величины
• Поверхности второго порядка; примеры
• Подпространства
• Положительные и неотрицательно определенные квадратичные формы
• положительные и неотрицательно определенные квадратичные формы; критерий Сильвестра; закон инерции
• Понятие базиса линейного пространства; разложение вектора по базису; теорема о единственности разложения; координаты вектора
• Понятие бесконечно малой и бесконечн большой функции; ограниченность на множестве, в точке
• Понятие инвариантного подпространства, примеры
• Понятие линейного оператора; действия над операторами
• Понятие линейного подпространства; ранг системы векторов; теорема; примеры
• Понятие линейного преобразования
• Понятие линейного пространства, основные аксиомы линейного пространства
• Понятие матрицы перехода, ее основные свойства; примеры
• Понятие несобственных интегралов. Условия их сходимости
• Понятие нормы вектора; ортогональные системы веторов
• Понятие открытых и замкнутых множеств
• Понятие предела функции нескольких переменных
• Понятие проектирующего оператора; произвольный линейный оператор в комплексном евклидовом пространстве
• Понятие пространства геометрических векторов, нулевого, координатного пространства; примеры
• Понятие пространства матриц, пространства непрерывных функций, пространства многочленов; примеры
• Понятие размерности линейного пространства; основные теоремы; примеры
• Понятие сопряженного оператора; переход к сопряженному оператору
• Понятие унитарного (ортогонального) оператора; понятие эрмитова (самосопряженного) оператора
• Понятие условного экстремума функции нескольких переменных
• Понятие частной производной функции двух переменных
• Понятие ядра оператора, образа оператора; основные теоремы линейных операторов
• Преобразование координат вектора при переходе к новому базису
• Приведение кривой второго порядка к главным осям (к каноническому виду)
• Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
• Приведение симметрической матрицы к диагональному виду
• Примеры евклидовых пространств
• Процесс ортогонализации
• прямоугольные координаты в пространстве
• Разложение вектора по ортогональному базису
• Ранг матрицы
• ранг матрицы и его вычисление методом Гаусса
• Распределения Пуассона
• Самосопряженный оператор и его матрица
• Свойства линейных изоморфизмов
• Свойства собственных векторов
• Связь билинейных и квадратичных форм; эквивалентность билинейных и квадратичных форм
• симметричная, диагональная, единичная матрицы
• системы линейных неравенств
• Системы линейных уравнений общего вида
• Скалярное произведение и его свойства
• скалярное произведения векторов, их выражения через координаты; условия коллинеарности и ортогональности векторов
• Случай произвольной матрицы
• Случай самосопряженной матрицы
• Собственное подпространство
• Собственные векторы самосопряженного оператора
• Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
• Сопряженный оператор и его матрица
• Схема Бернулли. Формула биномиального распределения
• Тензорное исчисление
• теорема Перрона - Фробениуса о наибольшем действительном положительном собственном значении
• теория двойственности
• Упрощение уравнения поверхности второго порядка
• уравнение прямой в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
• Формула Тейлора
• Функции нескольких переменных; операции над функциями; график
• Характеристическая матрица и характеристический многочлен
• Характеристический многочлен линейного оператора, его корни
• Характеристическое уравнение матрицы; характеристическое уравнение линейного оператора
• цилиндрические и конические поверхности
• Частные производные высших порядков
• численные методы в решении задач линейной алгебры
• Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение
• Элементарные преобразования матрицы
• Элементарные следствия из аксиом линейного пространства, их доказательства
• Эмпирический коэффициент корреляции двух случайных величин

Данный список тем процитирован в учебных целях с сайта Современной Гуманитарной Академии, www.muh.ru